George shu heng pau’s writings

George Pau Shu Heng-MIT,LBL.gov

Abstract :Massachusetts institute of technology, dept of mechanical engineering 2007, includes bibliographical references, written by G S H P. Electronic structure problems in solids usually involve repetitive determination of quantities of interest, evaluation of which requires the solution of an underlying partial differential equation. We represent in this thesis the application of the reduced basis method in accurate and rapid evaluations of outputs associated with some nonlinear eigenvalue problems related to electronic structure calculations. The reduced basis method provide a systematic procedure by which efficient basis sets and computational strategies can be constructed. The essential ingredients are (i) rapidly convergent global reduced basis approximation spaces, (ii) an offline-online computational procedure to decouple the generation and projection stages of the approximation process and (iii) inexpensive a posteriori error estimation procedure for outputs of interest. We first propose two strategies by which we can construct efficient reduced basis approximations for vectorial eigensolutions- solutions consisting of several eigenvectors. The first strategy exploits the optimality of the Galerkin procedure to find a solution in the span of all eigenvectors at N judiciously chosen samples in the parameter space the second strategy determines a solution in the span of N vectorial basis functions that are pre-processed to better represent the smoothness of the solution manifold induced by the parametric dependence of the solution we reduce from numerical results conditions in which these approximations are rapidly convergent for linear eigenvalue problems, we construct a posteriori assumption error estimators for our existing work in alrebraic eigenvalue problems. We further construct efficient error estimation procedures that allow efficient construction of reduced basis spaces based on the “greedy” sampling procedure. We extend our methods to nonlinear eigenvalue problems,utilicing the empirical interpolation method we also provide a more efficient construction procedure for the empirical interpolation method. Finally , we apply our methods to two problems in electronic structure calculations-band structure calculations and electronic ground state calculations. Band structure calculations involve approximations of linear eigenvalue problems, we demonstrate the applicability of our methods in the many limit with several examples related to determination of spectral properties of crystalline solids electronic ground state energy calculations based on density functional theory involve approximations of nonlinear eigenvalue problems, we demonstrate the potential of our methods within the context of geometry optimization.
Translation into Vietnamese:
Vieän coâng ngheä Massachusetts, phoøng kyõ thuaät cô khí 2007, goàm caùc tham khaûo thö muïc
Nov 2006: written by A.T.Patera, G S H P, N C N,…
This project is focused on reduced basis approximation methods, associated rigorous and sharp a posteriori error bounds, and offline-online computational strategies for the rapid and reliable solution of parametrized elliptic, parabolic and more recently hyperbolic partial differential equations relevant to mechanics from the quantum through the meso scale to the macro-scale. Typical equations and applications of interest include density functional theory for solid state property calculations, the Boltzmann equation for microscale gas flows, the navier-stokes equations for natural convection calculations, elasticity for stress intensity factors/brittle failure, Htelmholtz and the wave equation for acoustic waveguide applications. Of particular interest is real-time and robust parameter estimation with application to detection, nondestructive evaluation, adaptive design/optimization and control. Key engineering outputs in real time without loss of accuracy or reliability: the outputs provided-in milliseconds(online) by our approach are probably indistinguishable from the outputs provided- typically in many minutes or even hours- by classical methods.
Phoøng thí nghieäm quoác gia Lawrence Berkeley
(tröôøng ñaïi hoïc California)
Phöông phaùp cô baûn giaûm tröø cho söï giaû caùch thaønh phaàn nano.
GSHP
Toùm taét
Söï giaû caùch vaän chuyeån ñöôøng thaúng trong thaønh phaàn nanao, lieân quan theo baûn chaát 1 heä thoáng caëp Schrodinger-Poisson veà can baèng, trong ngaønh vi tính. ÔÛ nay, chuùng toâi ñeà nghò caëp phöông phaùp cô baûn ñöôïc giaûm tröø vôùi phöông phaùp ñoät phaù söï taïo thaønh baêng taàng phuï nhaèm ñeå caûi thieän hieäu quaû toång quaùt cuûa söï giaû caùch. Baèng caùch khai thaùc 1 tieán trình ñaùnh giaù loãi a posteriori vaø cô soá hoïc maãu ña daïng, chuùng toâi coù theå thieát keá 1 cô soá hoïc coù chi phí vi tính hoùa ñöôïc giaûm tröø ñaùng keå. Hôn nöõa, chi phí vi tính hoùa chæ taêng theo möùc can baèng ñaàu ra, vaøo vôùi soá ñieåm maïng theo höôùng ñaõ ñöôïc xaùc ñònh.
Giôùi thieäu
Vì kích thöôùc caùc thaønh phaàn ñieän töû rung tôùi möùc ñoä ñôn vò nano, vieäc vaän chuyeån troïng taûi ñöôøng thaúng trôû neân quan troïng daàn hôn khi moâ taû hieän töôïng vaän chuyeån trong caùc thaønh phaàn naøy (1). Tuy nhieân, söï giaû caùch vaän chuyeån troïng taûi ñöôøng thaúng thöôøng maïnh meõ trong vi tính hoùa-ñieàu naøy lieân quan theo baûn chaát vieäc giaûi quyeát 1 heä thoáng caëp Schrodinger-Poisson veà can baèng(2-4). Ñöôïc moâ taû trong caùc chi tieát lôùn hôn ôû phaàn II, tieán trình töø ban ñaàu lieân quan moät caùch laëp ñi laëp laïi vieäc giaûi quyeát 1 söï can baèng Schrodinger vôùi caùc ñieàu kieän noái keát môû(2) ôû nhieàu traïng thaùi naêng löôïng khaùc trong voøng moãi töông taùc maïng. Phaàn lôùn caùc traïng thaùi yeâu caàu xaùc ñònh chính xaùc vieäc phaân phoái ñoä day ñieän tích vaø nhieàu töông taùc maïng coù baûn chaát can ñaït ñeán söï daãn truyeàn ngöôïc laïi tôùi khi chi phí vi tính hoùa lôùn thöôøng ñöôïc keát hôïp vôùùi söï giaû caùch vaän chuyeån troïng taûi ñöôøng thaúng 1 phöông phaùp hieäu quaû hôn ñeå giaûi quyeát can baèng Schrodinger, do ñoù coù theå caûi thieän nhieàu hieäu quaû toång quaùt cuûa söï giaû caùch vaän chuyeån troïng taûi ñöôøng thaúng. Ghi nhôù raèng phöông phaùp thoâng duïng khaùc cuûa söï giaû caùch vaän chuyeån troïng taûi ñöôøng thaúng lieân quan ñeán vieäc giaûi quyeát caùc can baèng chöùc naêng Green voán khoâng can baèng(NGEF)-heä thoáng Poisson cuûa nhöõng söï can baèng(5,6). Trong hoà sô naøy, chuùng toâi seõ taäp trung phöông phaùp döïa treân can baèng heä thoáng Schrodinger mace duø phöông phaùp hoïc maø chuùng toâi moâ taû coù theå ñöôïc aùp duïng coù hieäu quaû trong phöông phaùp naøy cuõng döïa treân chuû nghóa daïng NGEF.
Phöông ophaùp khaùc bieät giôùi haïn vaø phöông phaùp yeáu toá giôùi haïn ñöôïc duøng roäng raõi ñeå tính xaáp xæ can baèng Schrodinger nhôøvaøo tính linh ñoäng(3,4,7-9). Tuy nhieân, 1 aùp duïng tröïc tieáp cuûa caùc phöông phaùp naøy, ñaëc bieät trong caùc kích thöôùc khoâng gian cao hôn, coù theå daãn tôùi vaøi heä thoáng cô soá hoïc roäng lôùn trong can baèng, coù giaûi phaùp vi tính hoùa raát maéc. Phöông phaùp ñoät phaù söï taïo thaønh cuûa baêng taàng phuï(10,11) hay ñöôïc bieát nhieàu hôn phöông phaùp kieåu caëp(5,12) coù muïc ñích giaûm chi phí vi tính hoùa baèng caùch ñoät phaù söï taïo thaønh can baèng Schrodinger thaønh 2 vaán ñeà phuï nhoû hôn, coù keát quaû can baèng Schrodinger noái keát theo caùc höôùng ñaõ ñöôïc xaùc ñònh vaø 1 söï can baèng Schrodinger môû theo höôùng vaän chuyeàn. Ñaëc bieät, ñaàu tieân giaûi quyeát can baèng Schrodinger ñöôïc noái keát ôû caùc vò trí khaùc phuï thuoäc höôùng vaän chuyeån, chuùng toâi coù theå ñaït ñöôïc 1 heä thoáng vô soá hoïc nhoû hôn trong can baèng Schrodinger môû. KHi ñoù coù theå ñöôïc giaû quyeát hieäu quaû hôn, tieán trình khi ñoù hieäu quaû trong giôùi haïn can ñöôïc giaûi quyeát can baèng Schrodinger nôi phaàn lôùn caùc möùc ñoä naêng löôïng khaùc. Hieäu quaû coù theå ñöôïc caûi thieän nhieàu hôn bôûi 1 xaáp xæ WKB cuûa can baèng Schrodinger môû (11). Tuy nhieân, giaûi quyeát can baèng…ñaõ ñöôïc noái keát vôùi giaûi quyeát 1 vaán ñeà giaù trò eigen ôû caùc vò trí khaùc nhau theo cuøng höôùng vaän chuyeàn, coù theå vaãn raát maéc, ñaëc bieät khi vieäc phaùt maïnh ñieän tích yeâu caàu vò theá 1 söï giaû caùch aån toát. Hoà sô naøy ñeà nghò 1 phöông phaùp hieäu quaû döïa treân phöông phaùp cô baûn ñaõ ñöôïc giaûm tröø ñeå giaûm chi phí vi tính hoùa giaûi quyeát söï can baèng Schrodinger ñaõ ñöôïc noái keát.
Phöông phaùp côbaûn ñaõ ñöôïc giaûm tröø laø 1 kyõ thuaät giaûm tröø theo traät töï maãu khai thaùc vieäc giaûm tröø kích thöôùc ñeå phuø hôïp vôùi söï gaäp ñoâi giaûi phaùp lieân keát ño ñaïc vôùi kích thöôùc thaáp vaø eâm. Thay vì duøng boä cô baûn toång quaùt nhö yeâu toá giôùi haïn, 1 söï tính toùan xaáp xæ vôùi 1 giaûi phaùp can baèng khaùc bieät töøng phaàn ñöôïc ño ñaïc döôùi taàng ñaït ñöôïc baèng 1 söï höôùng tôùi höôùng vector coù kích thöôùc thaáp, ñöôïc span bôûi 1 boä cô baûn, goàm caùc giaûi phaùp coù soá löôïng ñieåm ñöôïc ño ñaïc choïn loïc moät caùch judicious. Phöông phaùp cô baûn ñöôïc giaûm tröø ñöôïc giôùi thieäu laàn ñaàu tieân cuoái nhöõng naêm 70, trong tröôøng hôïp phaân tích caáu truùc khoâng tuyeán(13,14) vaø ñöôïc trích ruùt sau ñoù, ñöôïc phaân tích vaø keùo daøi tôùi 1 lôùp lôùn hôn cuûa caùc söï can baèng khaùc töøng phaàn ñaõ ñöôïc ño ñaïc(15-19). Môùi nay, 1 phöông phaùp cô baûn ñöôïc giaûm tröø vaø trong caùc tieán trình ñaùn giaù loãi a posteriori ñöôïc taäp hôïp, ñöôïc phaùt trieån thaønh coâng theo nhieàu loïai khaùc cuûa PDE affine trong caùc ño ñaïc (20-26), PDE khoâng affine trong ño ñaïc, vaø moâ taû laøm sao phöông phaùp hoïc cô baûn ñöôïc giaûm tröø coù theå keát hôïp vaøo tieán trình giaûi phaùp toång quaùt daønh cho heä thoáng can baèng Schrodinger-Poisson.
Hoà sô naøy ñöôïc toå chöùc nhö sau: ñaàu tieân chuùng toâi moâ taû vaán ñeà chuùng toâi caàyn giaûi quyeát. Ñeå ñôn giaûn hoùa vieäc trình baøy phöông phaùp hoïc, chuùng toâi seõ duøng MOSFET coång ñoâi nhö 1 vaán ñeà maãu. KHi ñoù chuùng toâi cung caáp vieäc ñònh daïng yeáu cuûa caùc can baèng coù lieân quan vaø moâ taû ngaén goïn phöông phaùp ñoät phaù suïy taïo thaønh baêng taàng phuï.
II. Ghi chuù vaán ñeà
Vôùi söï tính toùan xaáp xæ toång quaùt hieäu quaû(30), ñieän tích ñöôïc moâ taû bôûi 1 chöùc naêng soùng …daønh cho E ñaõ ñöôïc cho, thoûa maõn can baèng Schrodinger sau:…
Vôùi caùc ñieàu kieän nmoái keát môû tích hôïp(2). …hieäu quaû ñöôïc tính bôûi:…
Chuùng toâi khoâng bieát thuaät ngöõ ñoàng lieân keát trao ñoåi vì tính ñôn giaûn nhöng phöông phaùp hoïc ñöôïc moâ taû seõ thích hôïp deã daøng vôùi thuaät ngöõ…moâ taû khoûang caùch lôùn giöõa chaát xuùc taùc vaø baùn daãn. …hieäu quaû ñaûo ngöôïc thoûa maõn 1 caân baèng Poisson ñöôïc trình baøy nhö sau:
Vôùi caùc ñieàu kieän noái keát thích hôïp. ÔÛ nay, …laø 1 chöùc naêng 2 ñieän tích cuûa caùc vaät lieäu, …laø ñoä day caùc ñieän tích töï do, vaø …laø söï taäp trung caùc thaønh phaàn khoâng roõ, chuùng toâi khoâng bieát söï goùp phaàn cuûa söï khoâng roõ phaàn nhaän vaø loãi ví tính ñôn giaûn. Söï can baèng (1) vaø (2) do ñoù ñöôïc ñi keøm suoát thuaät ngöõ …, coù theå ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: …, trong ñoù C laø ñoàng hieäu öùng phuï thuoäc maãu vaø …laø thoáng nhaát Fermi-Dirac cuûa leänh-1/2. ÔÛ nay, Ef laø möùc ñoä Fermi cuûa caùc ñieän tích vaøo trong heä thoáng.
Hình 1: 1 vaán ñeà maãu döïa treân MOSFET coång ñoâi.
Ñeå giaûi quyeát heä thoáng ñoâi cuûa söï can baèng treân, can coù 1 keát caáu nhaäp vaøo maïng. Chuùng toâi duøng 1 phöông phaùp ñieåm coá ñònh ñöôïc thaû noåi. Baét ñaàu töø 1 döï ñoùan …, chuùng toâi xaây doing heä quaû …trong ñoù …
…laø 1 ño ñaïc coù theå ñöôïc ñieàu chænh ñeà caûi thieän söï ñaûo ngöôïc, vaø … ñöôïc xaùc ñònh töø (4) vôùi …, ñöôïc vi tính hoùa töø (1) vôùi ….Chuùng toâi ghi chuù raèng (4) phaûi ñöôïc ñaùnh giaù soá vaø do ñoù (1) phaûi ñöôïc ñaùnh giaù nhieàu laàn. Khi ñoù chuùng toâi giaûi quyeát (3) cho .. vôùi giaù trò môùi cuûa …. Tieán trình ñöôïc laëp laïi tôùi khi …, trong ñoù … laø phaàn giöõ laïi nhö yù muoán. Roõ raøng, ngay caû tính toùan xaáp xæ soá cuûa (1) khoâng maéc, 1caùch ñaëc bieät, caùc aûnh höôûng ñoàng thôøi do baûn chaát nhaäp vaøo maïng cuûa cô soá hoïc vaø tính toùan xaáp xæ soá cuûa (4) coù theå gay thaùch thöùc cho vi tính hoùa.
Vì muïc ñích cuûa hoà sô naøy, chuùng toâi seõ xem xeùt 1 thaønh phaàn nano 2 kích thöôùc (1 MOSFET coång ñoâi) ñöôïc ghi trong hình II. Tieáp theo 1 nguoàn taøi lieäu höõu ích, …, 1…höõu ích chuoãi vaø 1 … höõu ích coång, chuùng toâi coù theå xaùc ñònh doøng hieän taïi I trong höôùng …. Vò trí söï giaû caùch …coù theå ñöôïc tính vaät chaát, chuùng toâi seõ duøng laø cuûa Si trong … vaø …trong …. Hôn nöõa, … ñöôïc laøm maïnh theâm ñeå cung caáp ñöôøng truyeàn töï do ñeå vaän chuyeån troïng taûi, chuùng toâi keát luaän caáu truùc thuûy tinh cuûa thaønh phaàn ñöôïc ñònh höôùng nhö …trong höôùng (100)vaø …trong höôùng (001). Caùc ñöôïc truïc khi ñöôïc xeáp thaúng haøng vôùi caùc ñöôøng truïc cuûa 6 ellip töông ñöông baêng taàng daãn truyeàn. Döïa treân tính toùan xaáp xæ toång theå hieäu quaû, chuùng toâi khi ñoù coù 3 ñònh daïng cho …
3 ñònh daïng naøy cuûa …ñöôïc cho bôûi …,…laø caùc toång theå laâu daøi vaø ñaûo chieàu cuûa vaät lieäu. Chuùng toâi keát luaän …, ñoái vôùi…laø töông töï. Cuoái cuøng, chuùng toâi keát luaän chuùng toâi coù 1 gas ñieän tích 2 kích thöôùc vôùi 1 moái lieân heä chia caùch daïng parabol trong höôùng ….
A. Coâng thöùc vieát toùm goïn
Baây giôø chuùng toâi trích coâng thöùc yeáu cho (1) vaø (3) ñoái vôùi vaán ñeà maãu ñöôïc moâ taû trong phaàn II. Ñoái vôùi (1), coâng thöùc yeáu laø… ñöôïc cho tröôùc, tìm …nhö sau:
Trong ñoù …tuaàn töï laø caùc noái keát khi tieáp xuùc vôùi caùc ñieän cöïc nguoàn vaø chuoãi. Döïa treân phöông phaùp noái keát vaän chuyeån quantum(2) chuùng toâi môû roäng … cuûa (5): ñoái vôùi …

Trong ñoù …laø caùc traïng thaùi eigen phuï thuoäc … laø m lôùn nhaát vôùi …laø ñoàng hieäu öùng cuûa caùc traïng thaùi soùng di chuyeån ra, vaø …laø caùc ñoàng hieäu öùng cuûa caùc traïng thaùi phaùt sinh. Ñoái vôùi 1 vaán ñeà ñaëc bieät, …laø 1 ño ñaïc maø chuùng toâi coù theå thay ñoåi trong khi …ñöôïc xaùc ñònh nhö 1 phaàn cuûa giaû phaùp naøy.
Ñeå laøm deã daøng cho coâng thöùc khaùc bieät naøy, chuùng toâi bay giôø xaùc ñònh caùc daïng hoïat ñoäng nhö sau:…,
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Coâng thöùc vieát taét khi ñoù: …ñöôïc cho tröôùc, tìm …thoûa maõn.
Ñoái vôùi (3), coâng thöùc yeáu: …ñaõ ñöôïc cho, giaûi phaùp …ñöôïc cho bôõi coâng thöùc:…
Trong ñoù .. laø noái keát tieáp xuùc vôùi ñieän cöïc coång. Chuùng toâi coù caùc ñieàu kieän vieát taét laø :…ñaõ ñöôïc cho, giaûi phaùp … ñöôïc cho bôûi …. Ñoái vôùi vaán ñeà hieän taïi, chuùng toâi ñaõ keát luaän 1 gas ñieän tích 2 kích thöôùc coù ñoä day troïng taûi n ñöôïc cho bôûi (6)
(15)
Vaø keát quaû naøy qua 32 daïng …khaùc nhau. Chuùng toâi keát luaän …theo bias o. Cuoái cuøng ñoä maïnh hieän taïi I ñöôïc cho bôûi (16)
Trong ñoù …ñoä day hieän taïi trong höôùng …, ñöôïc moâ taû nhö (17).
Tính toùan xaáp xæ soá cuûa (13)-(14) döïa treân phöông phaùp ñöôïc goïi laø yeáu toá giôùi haïn, tuy vaäy coù theå raát maéc theo vi tính hoùa vì (13) phaûi ñöôïc giaûi quyeát nhieàu laàn trong khi nhaäp vaøo maïng ñôn ñeå xaùc ñònh soá hoùa ñoä day n. Ñaëc bieät, giaû tyû chuùng toâi thay theá khoâng noái keát khoâng coù giôùi haïn trong (15) bôûi Emax vaø chia khoûang caùch …thaønh caùc khoûang caùch …. Chuùng toâi khi ñoù duøng coâng thöùc pheùp caàu phöông Gauss trong voøng moãi khoûang caùch ñeå tính toùan xaáp xæ sau cuûa n: (18)
Trong ñoù …laø soá kieåu ñöôïc xem xeùt ôû …;…neáu m’=m vaø g’=g vaø o, …laø caùc ñieåm pheùp caàu phöông ñöôïcng duøng bôû khoûang caùch. Sau ñoù trong moãi söï nhaäp vaøo maïng, soá toái ña cuûa caùc laàn chuùng toâi phaûi giaûi quyeát (13)laø ….Ñieàu naøy coù theå nhoû hôn gì ñoù bôûi khoâng goà,m E ñeå… nhoû khoâng theå choái caõi ñöôïc.
B. Phöông phaùp ñoät phaù söï taïo thaønh baêng taàng phuï.
Phöông phaùp ñoät phaù söï taïo thaønh baêng taàng phuï ñaàu tieân ñöôïc moâ taû trong (5,10). Keát luaän raèng chöùc naêng soùng ñöôïc noái keát trong höôùng …, chuùng toâi coù theå vieát Y nhö … trong ñoù ….KHi ñoù, chuùng toâi coù theå bieåu thò … nhö (19).
ÔÛ nay…laø caùc giaûi phaùp cho vaán ñeà giaù trò eigen sau nay:
(20)
(21)
Trong ñoù…vaø
Ñoái vôùi …(22)
Thay theá (19) vaøo (13), chuùng toâi ñaït ñöôïc 1 vaán ñeà 1 kích thöôùc ñoái vôùi …(232)
. Ñôn giaûn nay laø daïng yeáu cho can baèng Schrodinger 1kích thöôùc sau nay ñoái vôùi …, vôùi ñieàu kieän noái keát môû thích hôïp …. Sau ñoù ñöôïc tìm thaáy raèng chæ 1 soá giôùi haïn cuûa …laø can, trong ñoù chuùng toâi khoâng ghi chuù nhö…. Neáu … naøy ñöôïc bieát ñeán, vaán ñeà 1 kích thöôùc naøy coù theå ñöôïc giaûi quyeát hieäu quaû.
Ñeå ñaït ñöôïc söï lieân tuïc nhö vaày, moãi söï nhaäp vaøo maïng ñieåm coá ñònh hieän goàm 3 phaàn: (i) xaùc ñònh caùc baêng taàng phuï… daønh cho caùc ñieåm giôùi haïn trong …, (ii) xaùc ñònh …baèng caùch giaûi quyeát (23) ñoái vôùi…troän laãn khaùc nhau cuûa E vaø …, vaø (iii) xaùc ñònh … baèng caùch giaûi quyeát (14) ñaõ ñöôïc cho tröôùc …. Trong (10), phöông phaùp yeáu toá giôùi haïn ñöôïc duøng ñeå tính toùan xaáp xæ caùc giaûi phaùp ôû taát caû caùc möùc ñoä cuûa cô soá hoïc. Hy voïng raèng toång quaùt vi tính hoùa xaûy ra trong phaàn (i) seõ giaûm ñaùng keå chi phí ví tính hoùa giaûi quyeát can baèng Schrodinger môû can thieát ñeå xaùc ñònh ñoä day ñieän töû. Tuy nhieân, phaàn (i) coù theå raát maéc theo vi tính hoùa, ñaëc bieät neáu moãi laãn loan raát toát can giaûi quyeát söï ñaùp öùng maïnh meõ cuûa caùc ñieän tích trong höôùng …hay khi (20) phaûi ñöôïc giaûi quyeát ôû soá löôïng lôùn ñieåm neáu laãn loän toát hôn can cho höôùng …. Muïc tieâu cuûa chuùng toâi laø laøm nhanh lean söï xaùc ñònh cuûa … ñoái vôùi baát kyø … naøo thoâng qua phöông phaùp cô baûn ñöôïc giaûm tröø.
Tröôùc khi chuùng toâi tieán haønh, chuùng toâi moâ taû laøm sao xaùc ñònh … Sau ñoù, baèng caùch laáy töø (20) theo …, chuùng toâi ñaït ñöôïc (25)
Hôn nöõa, khi ñeà…, vaø taïo neân (20), chuùng toâi ñaït ñöôïc(26)
Cuoái cuøng, baèng caùch thay theá (26) vaøo (25), chuùng toâi coù theå giaûi quyeát cho …. Hieän taïi, … ñöôïc vi tính hoùa duøng 1 coâng thöùc khaùc. Trong phuï luïc A, chuùng toâi moâ taû 1 coâng thöùc lieân tuïc vôùi khoûan khoâng xaáp xæ yeáu toá giôùi haïn cuûa …, tuy nhieân daãn tôùi 1 chi phí vi tính hoùa cao hôn. Chuùng toâi cuõng ghi chuù raèng vì …khoâng phuï thuoäc …
III. Phöông phaùp cô baûn ñöôïc giaûm tröø
Baây giôø chuùng toâi giôùi thieäu coâng thöùc cô baûn cho (20). Hình 2 chæ ra söï thay ñoåi … ñoái vôùi nhieàu giaù trò khaùc nhau cuûa …. Söï khaùc nhau nhoû nhöng khoâng phaûi 3 chieàu, vaø chuùng toâi coù theå khoâng quan taâm 1 söï thay ñoåi e, cuûa …, khi ñeà caäp tôùi …. Ñieàu naøy ñeà nghò raèng phöông phaùp cô baûn ñöôïc giaûm tröø coù theå xaáp xæ raát hieäu quaû…. Phaàn naøy moâ taû laøm sao… coù theå ñöôïc tính xaáp xæ bôûi phöông phaùp cô baûn ñöôïc giaûm tröø. Giaû söû…. Hôn nöõa, ñeå thöïc hieän ghi chuù, chuùng toâi coù…
A. Caùc khoûang caùch xaáp xæ.
Ñaàu tieân chuùng toâi giôùi thieäu boä ví duï aån … vaø xaùc ñònh caùc khoûang khoâng cô baûn ñöôïc giaûm tröø aån ñoàng thôøi nhö (27)
Trong ñoù …laø caùc giaûi phaùp cuûa (20) vôùi …laø caùc chöùc naêng cô baûn coù ñöôïc sau khi …ñöôïc bình thöôøng hoùa 1 caùch traät töï.
Chuùng toâi cuõng xaäy doing caùc khoûang caùch xaáp xæ ñoàng thôøi cho …döïa treân tieàn trình xuyeân cöïc (27,28,31). Ñoái vôùi…, chuùng toâi xaây doing caùc boä ví duï ñöôïc löu… caùc khoûang caùch xaùp xæ ñöôïc löu … vaø caùc ñieåm xuyeân cöïc aån…
Trong (27), chuùng toâi keát luaän …ñöôïc bieát ñeán chính xaùc. Khi thöïc haønh, tuy nhieân, .phaûi ñöôïc xaùc ñònh thoâng qua vaøi daïng xaáp xæ “that söï”- ôû nay, chuùng toâi duøng phöông phaùp yeáu toá giôùi haïn vôùi caùc yeáu toá …. Chuùng toâi xaâ7y duïng tính toùan xaáp xæ cô baûn ñöôïc giaûm tröø, vaø ño ñaïc loãi trong tính toùan xaáp xæ cô baûn ñöôïc giaûm tröø ñöôïc xaây doing treân söï tính toùan xaáp xæ “that söï” naøy kh6ong theå hoøan thieän hôn söï tính toùan xaáp xæ “thaä”. Do ñoù, soá yeáu toá ñöôïc duøng ñeå ñaït ñöôïc tính toùan xaáp xæ “that söï” cuûa chuùng toâi N, phaûi thöôøng laø lôùn. Töông töï, …ñöôïc xaây doing töø 1 tính toùan xaáp xæ “that söï” cuûa …, ôû nay döïa treân phöông phaùp yeáu toá giôùi haïn duøng caùc yeáu toá ….
B. Tính toùan xaáp xæ
Tính toùan xaáp xæ cô baûn ñöôïc giaûm tröø cuûa chuùng toâi cho (20) khi ñoù ñöôïc tính bôûi: tìm …nhö:
(28)
(29)
Trong ñoù…
Töông töï, tính toùan xaáp xæ cô baûn ñöôïc giaûm tröø cuûa chuùng toâi cho (25) ñöôïc tính bôûi: tìm …nhö
(30)
Trong ñoù…
Roõ raøng nhanh choùng laø…coù theå xaáp xæ 1 caùch nay ñuû trong …. Trong phaàn …, chuùng toâi seõ xem xeùt neáu can thieát thay ñoåi … bôûi 1 khoûang caùch môû roäng ra … ñöôïc tính bôûi
(32)
C. Ñoät phaù söï taïo thaønh offline-online
Ñaàu tieân chuùng toâi môû roäng vieäc tính toùan cô baûn ñöôïc giaûm tröø cuûa chuùng toâi nhö (33)
trong ñoù…
Sau ñoù chuùng toâi môû roäng tính toùan xaáp xæ xuyeân cöïc cho …nhö
(34)
Trong ñoù…ñöôïc tính bôûi (35)
Vaø …ñöôïc tính bôûi … Chuùng toâi ghi chuù raèng …laø maéc, ñöôïc xaây doing tröôùc ñoù döïa treân phöông phaùp xuyeân cöïc, vaø chuùng toâi tính …ñöôïc tính vôùi moïi …. Cho vaøo (33) vaø (34) vaøo (28), chuùng toâi ñaït ñöôïc can baèng bí maät sau:
(36)
(37)
(38)
Trong ñoù…. Chuùng toâi cuõng môû ra tính toùan xaáp xæ xuyeân cöïc cho …nhö
(39)
Trong ñoù…ñöôïc tính bôûi
(40)
vaø …ñöôïc tính bôûi…cho vaøo (33), (38), vaø (39) vaøo (30), chuùng toâi ñaït ñöôïc can baèng bí aån sau:
(41)
Trong ñoù…ñöôïc tính bôûi …theo thou töï.
Cuoái cuøng, …chöùc naêng tuyeán ñöôïc tính xaáp xæ ñôn giaûn bôûi
(42)
Khi chuùng toâi muoán vi tính hoùa caùc thuaät ngöõ …trong (23)
Söï ñoät phaù söï taïo thaønh vi tính hoùa khi ñoù roõ raøng. Luùc ñaàu moãi laàn nhaäp vaøo maïng bean trong, chuùng toâi taäp hôïp caùc khoûang khoâng cô baûn ñöôïc giaûm tröø aån, caùc khoûang khoâng xaáp xæ aån …. vaø caùc boä aån keøm vôùi caùc ñieåm xuyeân cöïc…. Ñeå xaùc ñònh…, chuùng toâi taïo vaø döï tröõ…. Töông ñöông cho phaàn offline trong coâng thöùc cô baûn ñöôïc giaûm tröø ñaëc tröng hôn. Chi phí vi tính hoùa(theo traät töï daãn ñaàu) laø…, trong ñoù phuï thuoäc tính phöùc taïp cuûa ñieàu chænh giaù trò eigen vaø tuyeán ñöôïc duøng… laø kích thöôùc cuûa söï tính toùan “that söï” cuûa chuùng toâi.
Trong online-suoát luùc xaây doing caùc ma traän aån cho (23)- chuùng toâi giaûi quyeát (36)-(37) cho …, vaø… vaø ñaùnh giaù (42). Caùc chi phí vi tính hoùa cho moãi …khi ñoù laø …, khi ñoù ñoäc laäp vôùi …
D. Ñaùnh giaù loãi a posteriori
Töø ñaùnh giaù loãi a posteriori theo (29). Chuùng toâi ghi chuù raèng caùc giaù trò eigen …ña daïng nhöng …khoâng khaúng ñònh chaët cheõ cho taát caû …
Ñoái vôùi …, chuùng toâi xaùc ñònh phaàn döï nhö